flykhan
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翻译自英文原版 maths-cs-ai-compendium，共 20 章全部完成。 第01章 向量 | 第02章 矩阵 | 第03章 微积分 第04章 统计学 | 第05章 概率论 | 第06章 机器学习 第07章 计算语言学 | 第08章 计算机视觉 | 第09章 音频与语音 第10章 多模态学习 | 第11章 自主系统 | 第12章 图神经网络 第13章 计算与操作系统 | 第14章 数据结构与算法 第15章 生产级软件工程 | 第16章 SIMD与GPU编程 第17章 AI推理 | 第18章 ML系统设计 第19章 应用人工智能 | 第20章 前沿人工智能 翻译说明： - 所有数学公式 $...$ / $$...$$、代码块、图片引用完整保留 - mkdocs.yml 配置中文导航 + language: zh - README.md 已翻译为中文（兼 docs/index.md） - docs/ 目录包含指向各章文件的 symlink - 约 29,000 行中文内容，排除 .cache/ 构建缓存
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# 度量与范数
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*范数衡量单个向量的大小；度量衡量两个向量之间的距离。本文涵盖 L1、L2 和 L-无穷范数、欧几里得距离和余弦距离，以及为什么为 kNN、聚类和 ML 中的检索选择合适的距离函数至关重要。*
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- 我们知道向量有模长和方向。但我们如何实际衡量单个向量"有多大"，或者两个向量"有多远"？这就是**范数**和**度量**发挥作用的地方。
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- 对标量而言，我们知道 10 > 5，因为它们的值对它们进行了量化，但是我们如何量化一个向量？它的**范数**衡量单个向量的大小。
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- 最熟悉的范数是**欧几里得范数**（L2），它就是我们已知的模长公式：
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$$\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}$$
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- 但还有其他衡量大小的方法。想象你在一个街道呈网格状的城市中。你不能斜穿建筑物，所以你旅程的"长度"是沿着每条街道行走的总街区数。这就是**曼哈顿范数**（L1）：
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$$\|\mathbf{v}\|_1 = |v_1| + |v_2| + \cdots + |v_n|$$
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- 或者你可能只关心单个最大的分量，忽略其余部分。这就是**最大范数**（L-无穷）：
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$$\|\mathbf{v}\|_\infty = \max(|v_1|, |v_2|, \ldots, |v_n|)$$
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- 这三个都是**一般 Lp 范数**的特例：
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$$\|\mathbf{v}\|_p = (|v_1|^p + |v_2|^p + \cdots + |v_n|^p)^{1/p}$$
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- 设置 $p = 2$ 得到欧几里得，$p = 1$ 得到曼哈顿，而当 $p \to \infty$ 时得到最大范数。随着 $p$ 增大，最大分量贡献越来越大，直到最终只有它重要。
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- 每个范数必须遵守三条规则：
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- **非负性**：$\|\mathbf{v}\| \geq 0$，且 $\|\mathbf{v}\| = 0$ 仅当 $\mathbf{v} = \mathbf{0}$。大小从不为负，只有零向量的大小为零。
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- **缩放性**：$\|c\mathbf{v}\| = |c| \cdot \|\mathbf{v}\|$。将向量加倍，其大小也加倍。
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- **三角不等式**：$\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\| \leq \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|$。捷径永远不会比绕远路更长。
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- 现在，**度量**衡量*两个*向量之间的距离。把它想象成问："这两个点相距多远？"
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- 获得度量的最简单方法是使用差值的范数：$d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|$。减去两个向量，然后测量剩余部分的大小。
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- 使用欧几里得范数，我们得到熟悉的**欧几里得距离**：
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$$d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + \cdots + (u_n - v_n)^2}$$
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- 使用曼哈顿范数得到**曼哈顿距离**，沿着每个轴的总差异，就像计算两个位置之间的城市街区数。
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- 每个度量必须遵守四条规则：
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- **非负性**：$d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \geq 0$。距离从不为负。
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- **同一性**：$d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = 0$ 当且仅当 $\mathbf{u} = \mathbf{v}$。零距离意味着同一点。
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- **对称性**：$d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = d(\mathbf{v}, \mathbf{u})$。从 A 到 B 的距离与从 B 到 A 的距离相同。
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- **三角不等式**：$d(\mathbf{u}, \mathbf{w}) \leq d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) + d(\mathbf{v}, \mathbf{w})$。直接走永远不会比绕路更长。
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- 那么两者之间的关系是什么？范数衡量一个向量，度量衡量两个向量之间的差距。每个范数自然地创建一个度量（通过测量差值），但并非每个度量都来自范数。
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- 例如，**汉明距离**计算两个向量不同的位置数量。它是一个有效的度量，但并非来自任何范数。
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- 在 ML 中，选择合适的范数或度量很重要。
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- L2 距离在求和前对每个差值平方，因此单个大的差值会主导结果。
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- L1 距离对绝对差值求和，平等对待每个差值。与 L2 相比，单个大的差值影响较小。
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## 编程练习（使用 CoLab 或 notebook）
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1. 计算同一向量的 L1 和 L2 范数。尝试更改值，注意哪个范数对大的分量最敏感，哪个对许多小分量最敏感。然后尝试计算 p 值递增（例如 1、2、5、10、50、100）时的 Lp 范数，观察它如何收敛到 L-无穷值。
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```python
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import jax.numpy as jnp
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v = jnp.array([3.0, -4.0, 1.0])
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l1 = jnp.sum(jnp.abs(v))
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l2 = jnp.sqrt(jnp.sum(v ** 2))
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print(f"L1: {l1}, L2: {l2:.2f}")
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```
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2. 计算两个向量之间的欧几里得距离和曼哈顿距离。尝试让向量彼此靠近或远离，观察每种距离如何不同地响应。
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```python
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import jax.numpy as jnp
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u = jnp.array([1.0, 2.0, 3.0])
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v = jnp.array([4.0, 0.0, 1.0])
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euclidean = jnp.sqrt(jnp.sum((u - v) ** 2))
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manhattan = jnp.sum(jnp.abs(u - v))
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print(f"Euclidean: {euclidean:.2f}, Manhattan: {manhattan}")
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```
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