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度量与范数

范数衡量单个向量的大小；度量衡量两个向量之间的距离。本文涵盖 L1、L2 和 L-无穷范数、欧几里得距离和余弦距离，以及为什么为 kNN、聚类和 ML 中的检索选择合适的距离函数至关重要。

• 我们知道向量有模长和方向。但我们如何实际衡量单个向量"有多大"，或者两个向量"有多远"？这就是范数和度量发挥作用的地方。

• 对标量而言，我们知道 10 > 5，因为它们的值对它们进行了量化，但是我们如何量化一个向量？它的范数衡量单个向量的大小。

• 最熟悉的范数是欧几里得范数（L2），它就是我们已知的模长公式：

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}

• 但还有其他衡量大小的方法。想象你在一个街道呈网格状的城市中。你不能斜穿建筑物，所以你旅程的"长度"是沿着每条街道行走的总街区数。这就是曼哈顿范数（L1）：

\|\mathbf{v}\|_1 = |v_1| + |v_2| + \cdots + |v_n|

• 或者你可能只关心单个最大的分量，忽略其余部分。这就是最大范数（L-无穷）：

\|\mathbf{v}\|_\infty = \max(|v_1|, |v_2|, \ldots, |v_n|)

• 这三个都是一般 Lp 范数的特例：

\|\mathbf{v}\|_p = (|v_1|^p + |v_2|^p + \cdots + |v_n|^p)^{1/p}

• 设置 p = 2 得到欧几里得，p = 1 得到曼哈顿，而当 p \to \infty 时得到最大范数。随着 p 增大，最大分量贡献越来越大，直到最终只有它重要。

• 每个范数必须遵守三条规则：

  • 非负性：$|\mathbf{v}| \geq 0$，且 \|\mathbf{v}\| = 0 仅当 $\mathbf{v} = \mathbf{0}$。大小从不为负，只有零向量的大小为零。

  • 缩放性：$|c\mathbf{v}| = |c| \cdot |\mathbf{v}|$。将向量加倍，其大小也加倍。

  • 三角不等式：$|\mathbf{u} + \mathbf{v}| \leq |\mathbf{u}| + |\mathbf{v}|$。捷径永远不会比绕远路更长。

• 现在，度量衡量两个向量之间的距离。把它想象成问："这两个点相距多远？"

• 获得度量的最简单方法是使用差值的范数：$d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = |\mathbf{u} - \mathbf{v}|$。减去两个向量，然后测量剩余部分的大小。

• 使用欧几里得范数，我们得到熟悉的欧几里得距离：

d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + \cdots + (u_n - v_n)^2}

• 使用曼哈顿范数得到曼哈顿距离，沿着每个轴的总差异，就像计算两个位置之间的城市街区数。

• 每个度量必须遵守四条规则：

  • 非负性：$d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \geq 0$。距离从不为负。

  • 同一性：d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = 0 当且仅当 $\mathbf{u} = \mathbf{v}$。零距离意味着同一点。

  • 对称性：$d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = d(\mathbf{v}, \mathbf{u})$。从 A 到 B 的距离与从 B 到 A 的距离相同。

  • 三角不等式：$d(\mathbf{u}, \mathbf{w}) \leq d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) + d(\mathbf{v}, \mathbf{w})$。直接走永远不会比绕路更长。

• 那么两者之间的关系是什么？范数衡量一个向量，度量衡量两个向量之间的差距。每个范数自然地创建一个度量（通过测量差值），但并非每个度量都来自范数。

• 例如，汉明距离计算两个向量不同的位置数量。它是一个有效的度量，但并非来自任何范数。

• 在 ML 中，选择合适的范数或度量很重要。

• L2 距离在求和前对每个差值平方，因此单个大的差值会主导结果。

• L1 距离对绝对差值求和，平等对待每个差值。与 L2 相比，单个大的差值影响较小。

编程练习（使用 CoLab 或 notebook）

1. 计算同一向量的 L1 和 L2 范数。尝试更改值，注意哪个范数对大的分量最敏感，哪个对许多小分量最敏感。然后尝试计算 p 值递增（例如 1、2、5、10、50、100）时的 Lp 范数，观察它如何收敛到 L-无穷值。

import jax.numpy as jnp

v = jnp.array([3.0, -4.0, 1.0])

l1 = jnp.sum(jnp.abs(v))
l2 = jnp.sqrt(jnp.sum(v ** 2))

print(f"L1: {l1}, L2: {l2:.2f}")

2. 计算两个向量之间的欧几里得距离和曼哈顿距离。尝试让向量彼此靠近或远离，观察每种距离如何不同地响应。

import jax.numpy as jnp

u = jnp.array([1.0, 2.0, 3.0])
v = jnp.array([4.0, 0.0, 1.0])

euclidean = jnp.sqrt(jnp.sum((u - v) ** 2))
manhattan = jnp.sum(jnp.abs(u - v))

print(f"Euclidean: {euclidean:.2f}, Manhattan: {manhattan}")