maths-cs-ai-compendium-zh/chapter 14: data structures and algorithms/04. graphs.md

# 图

*图建模了关系和连接——从社交网络到道路地图再到依赖链。本文件涵盖图的表示、BFS、DFS、最短路径、拓扑排序和连通分量，包括遍历和寻路模式，这些是图面试题中的核心。*

- 我们在第12章（邻接矩阵、拉普拉斯矩阵、谱性质）和第13章（树、平面性、着色）中已经介绍了图论。这里我们专注于**算法模式**：如何在代码中遍历、搜索和优化图。

- 两种基本的图算法是 **BFS** 和 **DFS**。几乎所有图问题都可以归结为其中一种，可能带有修改。掌握这两种算法，你就能解决绝大多数图问题。

## 图的表示

- **邻接表**：对于每个节点，存储一个邻居列表。空间：$O(|V| + |E|)$。最适合稀疏图（大多数现实世界的图）。

```python
# 无向图
graph = {
    0: [1, 2],
    1: [0, 3],
    2: [0, 3],
    3: [1, 2]
}

# 从边列表构建
def build_graph(n, edges):
    graph = {i: [] for i in range(n)}
    for u, v in edges:
        graph[u].append(v)
        graph[v].append(u)  # 有向图省略这一行
    return graph
```

- **邻接矩阵**：$n \times n$ 矩阵，其中 $A[i][j] = 1$ 如果边 $(i, j)$ 存在。空间：$O(|V|^2)$。最适合稠密图或需要 $O(1)$ 边查找时。

- **何时使用哪种**：绝大多数情况使用邻接表。只有当图很稠密（$|E| \approx |V|^2$）或需要常数时间边存在性检查时才使用矩阵。

## 模式：BFS（广度优先搜索）

- BFS 使用队列**逐层**探索节点。它是以下问题的首选算法：
    - **无权**图中的最短路径
    - 层序遍历
    - 寻找连通分量
    - 任何询问"最小步数"的问题

```python
from collections import deque

def bfs(graph, start):
    visited = {start}
    queue = deque([start])

    while queue:
        node = queue.popleft()
        for neighbour in graph[node]:
            if neighbour not in visited:
                visited.add(neighbour)
                queue.append(neighbour)
```

- **关键**：在**入队时**添加到 `visited`，而不是在出队时。如果你在出队时标记已访问，同一个节点可能被不同前驱多次入队，浪费时间并可能导致错误结果。

### 简单：岛屿数量

- **问题**：给定一个由 '1'（陆地）和 '0'（水）组成的 2D 网格，计算岛屿的数量。

- **模式**：遍历网格。当找到一个 '1' 时，使用 BFS/DFS 将所有连通的陆地单元格标记为已访问。每次开始 BFS 就是一个岛屿。

```python
from collections import deque

def num_islands(grid):
    if not grid:
        return 0

    rows, cols = len(grid), len(grid[0])
    count = 0

    for r in range(rows):
        for c in range(cols):
            if grid[r][c] == '1':
                count += 1
                # BFS 标记整个岛屿
                queue = deque([(r, c)])
                grid[r][c] = '0'  # 标记已访问
                while queue:
                    cr, cc = queue.popleft()
                    for dr, dc in [(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0)]:
                        nr, nc = cr + dr, cc + dc
                        if 0 <= nr < rows and 0 <= nc < cols and grid[nr][nc] == '1':
                            grid[nr][nc] = '0'
                            queue.append((nr, nc))

    return count
```

- **陷阱**：`directions = [(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0)]` 模式用于四连通网格邻居，几乎每个网格问题都会用到。记住它。对于八连通，加上对角线。

- **陷阱**：修改输入网格（`grid[r][c] = '0'`）避免了需要单独的 `visited` 集合。在面试中这是可以接受的，但要明确说明权衡（改变了输入）。

### 中等：腐烂的橘子

- **问题**：新鲜橘子如果与腐烂橘子相邻则会腐烂。返回所有橘子都腐烂的最短时间（如果不可能则返回 -1）。

- **模式**：多源 BFS。将所有初始腐烂的橘子同时放入队列。每层 BFS 就是一个时间步。

```python
from collections import deque

def oranges_rotting(grid):
    rows, cols = len(grid), len(grid[0])
    queue = deque()
    fresh = 0

    for r in range(rows):
        for c in range(cols):
            if grid[r][c] == 2:
                queue.append((r, c))
            elif grid[r][c] == 1:
                fresh += 1

    if fresh == 0:
        return 0

    time = 0
    while queue and fresh > 0:
        time += 1
        for _ in range(len(queue)):
            cr, cc = queue.popleft()
            for dr, dc in [(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0)]:
                nr, nc = cr + dr, cc + dc
                if 0 <= nr < rows and 0 <= nc < cols and grid[nr][nc] == 1:
                    grid[nr][nc] = 2
                    fresh -= 1
                    queue.append((nr, nc))

    return time if fresh == 0 else -1
```

- **关键洞察**：多源 BFS 同时处理所有源。这给出了从*任何*源的最短距离，这正是"最后一个新鲜橘子腐烂需要多长时间"。

## 模式：DFS（深度优先搜索）

- DFS 尽可能深地探索，然后回溯。它使用栈（显式栈或通过递归使用调用栈）。DFS 是以下问题的首选：
    - 环检测
    - 拓扑排序
    - 连通分量
    - 回溯 / 穷举搜索
    - 带约束的寻路

```python
def dfs(graph, node, visited=None):
    if visited is None:
        visited = set()
    visited.add(node)
    for neighbour in graph[node]:
        if neighbour not in visited:
            dfs(graph, neighbour, visited)
```

### 中等：课程表（环检测）

- **问题**：给定 $n$ 门课程和先修条件，判断是否能完成所有课程（即，没有循环依赖）。

- **模式**：在有向图中检测环。使用带有三种状态的 DFS：未访问、正在进行（在当前 DFS 路径上）、已完成。

```python
def can_finish(num_courses, prerequisites):
    graph = {i: [] for i in range(num_courses)}
    for course, prereq in prerequisites:
        graph[course].append(prereq)

    # 0 = 未访问, 1 = 进行中, 2 = 已完成
    state = [0] * num_courses

    def has_cycle(node):
        if state[node] == 1:
            return True   # 回边 → 环
        if state[node] == 2:
            return False  # 已经完全探索过

        state[node] = 1  # 标记为进行中
        for neighbour in graph[node]:
            if has_cycle(neighbour):
                return True
        state[node] = 2  # 标记为已完成
        return False

    for course in range(num_courses):
        if has_cycle(course):
            return False
    return True
```

- **为什么需要三种状态**：两种状态（已访问/未访问）无法区分"我正在探索这个节点"和"我已完成对这个节点的探索"。找到一个当前正在被探索的节点（状态 = 1）意味着我们发现了环。找到一个已经完全探索的节点（状态 = 2）只是交叉边，不是环。

### 中等：课程表 II（拓扑排序）

- **问题**：返回一个有效的课程顺序（拓扑排序）。

- **模式（Kahn 算法——基于 BFS）**：从没有入边的节点（入度为 0）开始。处理它们，减少它们邻居的入度。重复。

```python
from collections import deque

def find_order(num_courses, prerequisites):
    graph = {i: [] for i in range(num_courses)}
    indegree = [0] * num_courses

    for course, prereq in prerequisites:
        graph[prereq].append(course)
        indegree[course] += 1

    queue = deque([i for i in range(num_courses) if indegree[i] == 0])
    order = []

    while queue:
        node = queue.popleft()
        order.append(node)
        for neighbour in graph[node]:
            indegree[neighbour] -= 1
            if indegree[neighbour] == 0:
                queue.append(neighbour)

    return order if len(order) == num_courses else []  # 空 = 存在环
```

- **陷阱**：如果结果中的节点数少于图中的节点数，则存在环（某些节点的入度从未降到 0）。

## 最短路径

### Dijkstra 算法

- 在**非负**加权图中从源点找到到所有其他节点的最短路径。使用优先队列（最小堆）。

```python
import heapq

def dijkstra(graph, start):
    # graph: {node: [(neighbour, weight), ...]}
    dist = {node: float('inf') for node in graph}
    dist[start] = 0
    heap = [(0, start)]

    while heap:
        d, node = heapq.heappop(heap)
        if d > dist[node]:
            continue  # 过期条目

        for neighbour, weight in graph[node]:
            new_dist = d + weight
            if new_dist < dist[neighbour]:
                dist[neighbour] = new_dist
                heapq.heappush(heap, (new_dist, neighbour))

    return dist
```

- 时间：使用二叉堆为 $O((|V| + |E|) \log |V|)$。

- **陷阱**：`if d > dist[node]: continue` 这行是必须的。没有它，你会处理过期的堆条目，可能退化到 $O(|V|^2)$。

- **陷阱**：Dijkstra 不适用于负权重。如果一条边有负权重，贪心假设（一旦节点被确定，其距离就是最优的）就不成立了。应改用 Bellman-Ford。

### 困难：网络延迟时间

- **问题**：给定 $n$ 个节点和加权有向边，找出信号从源点到达所有节点所需的时间。如果并非所有节点都可到达，返回 -1。

```python
def network_delay(times, n, k):
    graph = {i: [] for i in range(1, n + 1)}
    for u, v, w in times:
        graph[u].append((v, w))

    dist = dijkstra(graph, k)
    max_time = max(dist.values())
    return max_time if max_time < float('inf') else -1
```

## 强连通分量

- 在有向图中，**强连通分量（SCC）**是一个最大节点集合，其中每个节点都能到达其他所有节点。

- **Kosaraju 算法**：(1) 在原始图上进行 DFS，记录完成顺序。(2) 转置图（反转所有边）。(3) 按完成顺序的逆序在转置图上进行 DFS。第3步中的每个 DFS 树就是一个 SCC。

- **何时使用**：寻找循环依赖、2-SAT、将有向图压缩为 SCC 的 DAG。

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## 常见陷阱总结

| 陷阱 | 示例 | 修复 |
|---------|---------|-----|
| 在出队时标记已访问 | 同一节点被多次入队 | 在入队时标记已访问 |
| 有向图中只有两种状态 | 无法区分回边和交叉边 | 使用三种状态：未访问/进行中/已完成 |
| Dijkstra 用于负权重 | 错误的最短路径 | 使用 Bellman-Ford |
| 忘记 `if d > dist[node]: continue` | 处理过期堆条目 | 总是跳过当前距离更差的情况 |
| 网格边界检查 | 索引越界 | `0 <= nr < rows and 0 <= nc < cols` |
| 没有考虑 time=0 的边界情况 | 腐烂橘子：没有新鲜橘子 | 在 BFS 之前检查 `fresh == 0` |
| 将有向图构建为无向图 | 先修条件是单向的 | 只在一个方向添加边 |

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## 课后练习题（NeetCode）

### BFS 模式
- [岛屿数量](https://neetcode.io/problems/count-number-of-islands) — 网格 BFS/DFS
- [腐烂的橘子](https://neetcode.io/problems/rotting-fruit) — 多源 BFS
- [克隆图](https://neetcode.io/problems/clone-graph) — BFS + 哈希表克隆
- [太平洋大西洋水流](https://neetcode.io/problems/pacific-atlantic-water-flow) — 从两个海洋开始的 BFS
- [单词接龙](https://neetcode.io/problems/word-ladder) — 隐式图上的 BFS

### DFS 模式
- [岛屿的最大面积](https://neetcode.io/problems/max-area-of-island) — 带面积计数的 DFS
- [课程表](https://neetcode.io/problems/course-schedule) — 有向图中的环检测
- [课程表 II](https://neetcode.io/problems/course-schedule-ii) — 拓扑排序
- [连通分量数量](https://neetcode.io/problems/count-connected-components) — DFS 或并查集
- [图是否是树](https://neetcode.io/problems/valid-tree) — 连通 + 无环

### 最短路径
- [网络延迟时间](https://neetcode.io/problems/network-delay-time) — Dijkstra
- [K 站中转内最便宜的航班](https://neetcode.io/problems/cheapest-flight-path) — 带约束的修改版 BFS/Bellman-Ford
- [上升水温游泳](https://neetcode.io/problems/swim-in-rising-water) — 二分查找 + BFS 或网格上的 Dijkstra

### 进阶
- [外星文字典](https://neetcode.io/problems/foreign-dictionary) — 从字符顺序进行拓扑排序