flykhan
2536c937e3
翻译自英文原版 maths-cs-ai-compendium，共 20 章全部完成。 第01章 向量 | 第02章 矩阵 | 第03章 微积分 第04章 统计学 | 第05章 概率论 | 第06章 机器学习 第07章 计算语言学 | 第08章 计算机视觉 | 第09章 音频与语音 第10章 多模态学习 | 第11章 自主系统 | 第12章 图神经网络 第13章 计算与操作系统 | 第14章 数据结构与算法 第15章 生产级软件工程 | 第16章 SIMD与GPU编程 第17章 AI推理 | 第18章 ML系统设计 第19章 应用人工智能 | 第20章 前沿人工智能 翻译说明： - 所有数学公式 $...$ / $$...$$、代码块、图片引用完整保留 - mkdocs.yml 配置中文导航 + language: zh - README.md 已翻译为中文（兼 docs/index.md） - docs/ 目录包含指向各章文件的 symlink - 约 29,000 行中文内容，排除 .cache/ 构建缓存
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# 链表、栈和队列
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*链表、栈和队列是更复杂数据结构的构建模块。本文件涵盖它们的运行机制，然后构建关键模式：快慢指针、单调栈和基于堆的优先队列，通过逐步增加难度的题目，并在每一步指出常见陷阱。*
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- 数组提供了快速的随机访问但插入代价高。**链表**提供了快速插入但没有随机访问。**栈**和**队列**将访问限制在一端或两端，而正是这种限制使它们强大：通过限制你能做的事情，它们简化了你需要考虑的事情。
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## 链表
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- **单向链表**是一个节点链。每个节点存储一个值和一个指向下一个节点的指针。最后一个节点指向 `null`。
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```python
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class ListNode:
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def __init__(self, val=0, next=None):
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self.val = val
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self.next = next
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```
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- **相对于数组的优势**：在已知位置插入或删除是 $O(1)$（只需重新指向指针）。无需移动元素。
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- **劣势**：访问元素 $i$ 需要 $O(i)$ 次遍历（无随机访问）。缓存局部性差（节点分散在内存中）。
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- **双向链表**增加了一个 `prev` 指针，支持向后遍历。用于 LRU 缓存（常数时间删除任何节点）和浏览器历史（前进/后退）。
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| 操作 | 单向 | 双向 |
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|-----------|--------|--------|
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| 按索引访问 | $O(n)$ | $O(n)$ |
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| 在头部插入 | $O(1)$ | $O(1)$ |
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| 在尾部插入 | $O(n)$ 或 $O(1)$* | $O(1)$ |
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| 删除给定节点 | $O(n)$** | $O(1)$ |
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| 搜索 | $O(n)$ | $O(n)$ |
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*有尾指针时。**需要前驱节点，需要遍历。
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- **哨兵节点**（虚拟头/尾节点）简化了边界情况。没有虚拟头节点时，在头部插入或删除头部需要特殊代码。有了虚拟节点，每个真实节点都有前驱。
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```python
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# 无虚拟节点：头部删除需要特殊处理
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def delete_head(head):
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if not head:
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return None
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return head.next
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# 有虚拟节点：统一逻辑
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dummy = ListNode(0)
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dummy.next = head
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# 现在每次删除都是：prev.next = prev.next.next
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```
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- **陷阱**：忘记处理空列表（`head is None`）或单元素列表。始终测试这些边界情况。
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## 模式：快慢指针（弗洛伊德算法）
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- 使用两个以不同速度移动的指针来检测链表的属性。**慢**指针一次移动一步；**快**指针一次移动两步。
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### 简单：环形链表
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- **问题**：判断一个链表是否有环。
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- **模式**：如果有环，快指针最终会追上慢指针（它们会相遇）。如果没有环，快指针会到达 `null`。
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```python
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def has_cycle(head):
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slow = fast = head
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while fast and fast.next:
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slow = slow.next
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fast = fast.next.next
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if slow == fast:
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return True
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return False
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```
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- **为什么有效**：如果环的长度为 $c$，快指针每步缩小1个节点的差距。它们必在慢指针进入环后的 $c$ 步内相遇。
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- **陷阱**：检查 `fast and fast.next`（而不仅仅是 `fast.next`）。如果 `fast` 是 `None`，调用 `fast.next` 会崩溃。
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### 中等：寻找链表的中间节点
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- **问题**：返回中间节点。
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- **模式**：当快指针到达末尾时，慢指针在中间。
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```python
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def find_middle(head):
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slow = fast = head
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while fast and fast.next:
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slow = slow.next
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fast = fast.next.next
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return slow # slow 在中间（偶数长度时为第二个中间节点）
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```
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### 中等：环形链表 II（寻找环的起点）
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- **问题**：返回环开始的节点。
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- **模式**：在快指针和慢指针相遇后，将一个指针重置到头部。两者以速度1移动。它们在环的起点相遇。
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```python
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def detect_cycle(head):
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slow = fast = head
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while fast and fast.next:
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slow = slow.next
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fast = fast.next.next
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if slow == fast:
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# 将一个指针重置到头部
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slow = head
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while slow != fast:
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slow = slow.next
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fast = fast.next
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return slow
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return None
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```
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- **为什么有效**：设从头到环起点的距离为 $a$，从环起点到相遇点的距离为 $b$。慢指针走了 $a + b$。快指针走了 $2(a + b)$。差值为一整圈：$a + b = c$（环长）。所以 $a = c - b$：从头到环起点的距离等于从相遇点到环起点的距离（沿环向前走）。
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### 困难：K个一组反转链表
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- **问题**：反转链表中每 $k$ 个连续节点。
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```python
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def reverse_k_group(head, k):
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# 检查是否还有 k 个节点
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node = head
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for _ in range(k):
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if not node:
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return head
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node = node.next
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# 反转 k 个节点
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prev, curr = None, head
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for _ in range(k):
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nxt = curr.next
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curr.next = prev
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prev = curr
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curr = nxt
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# 当前 head 现在是反转后的组的尾节点
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# 递归处理剩余部分
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head.next = reverse_k_group(curr, k)
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return prev # prev 是这组的新头节点
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```
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- **陷阱**：原地反转模式（`prev, curr, nxt`）值得记住。画出来：每一步，你将 `curr.next` 指回 `prev`，然后推进所有三个指针。顺序搞错会破坏链表。
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## 栈
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- **栈**是 LIFO（后进先出）：最近添加的元素最先被移除。想象一堆盘子。
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- 操作：`push(x)` 添加到顶部，`pop()` 从顶部移除，`peek()` 查看顶部不移除。全部 $O(1)$。
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- 栈是**递归**（调用栈）、**表达式求值**（中缀转后缀）和**撤销操作**（每个操作被入栈，撤销时弹出最后一个）背后的隐式结构。
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### 简单：有效的括号
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- **问题**：给定一个由括号 `()[]{}` 组成的字符串，判断它们是否平衡。
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- **模式**：将左括号入栈。当看到右括号时，检查栈顶是否匹配。
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```python
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def is_valid(s):
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stack = []
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matching = {')': '(', ']': '[', '}': '{'}
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for char in s:
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if char in matching:
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if not stack or stack[-1] != matching[char]:
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return False
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stack.pop()
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else:
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stack.append(char)
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return len(stack) == 0
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```
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- **陷阱**：忘记最后检查 `len(stack) == 0`。字符串 "(((" 中没有不匹配的情况，但因为没有闭合的括号，它是无效的。
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## 模式：单调栈
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- **单调栈**维护按排序顺序排列的元素（递增或递减）。当新元素会破坏顺序时，你弹出元素直到顺序恢复。
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- **何时使用**：问题要求"对每个元素，找到下一个/上一个更大/更小的元素。"栈的总时间复杂度为 $O(n)$，因为每个元素最多被入栈和出栈一次。
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### 中等：每日温度
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- **问题**：给定每日温度，对于每一天，找到需要等多少天才会升温。
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- **模式**：使用一个索引栈。当当前温度高于栈顶时，弹出并记录距离。
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```python
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def daily_temperatures(temperatures):
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n = len(temperatures)
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result = [0] * n
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stack = [] # 索引栈，温度递减
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for i in range(n):
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while stack and temperatures[i] > temperatures[stack[-1]]:
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prev = stack.pop()
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result[prev] = i - prev
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stack.append(i)
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return result
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```
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- 每个元素被入栈一次，最多出栈一次：总计 $O(n)$。
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- **陷阱**：在栈中存储索引（而非值）。你需要索引来计算距离。
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### 困难：柱状图中最大的矩形
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- **问题**：给定一个条形高度数组，找出最大矩形的面积。
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- **模式**：对于每个条形，找出它可以向左右延伸多远（即，每侧最近的更短条形）。单调递增栈高效地追踪这个信息。
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```python
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def largest_rectangle(heights):
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stack = [] # 索引栈，高度递增
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max_area = 0
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heights.append(0) # 哨兵，用于最后清空栈
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for i, h in enumerate(heights):
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start = i
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while stack and stack[-1][1] > h:
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idx, height = stack.pop()
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max_area = max(max_area, height * (i - idx))
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start = idx # 当前条形可以延伸到被弹出条形开始的位置
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stack.append((start, h))
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heights.pop() # 移除哨兵
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return max_area
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```
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- **陷阱**：`start = idx` 这行很微妙。当我们弹出一个比当前条形更高的条形时，当前条形可以向后延伸至被弹出条形开始的位置（因为中间的所有条形至少和被弹出条形一样高）。缺少这行会得到错误的面积。
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- **陷阱**：哨兵 `heights.append(0)` 确保栈中所有剩余的条形被处理。没有它，那些右侧从未遇到更短条形的条形会被遗漏。
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## 队列
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- **队列**是 FIFO（先进先出）：元素从后面添加，从前面移除。想象商店里排队。
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- **双端队列**（deque）支持在两端 $O(1)$ 插入和删除。Python 的 `collections.deque` 是标准实现。
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- 队列是 **BFS**（广度优先搜索，第14章文件04）、**任务调度**和**消息传递**背后的结构。
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### 简单：用栈实现队列
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- **问题**：仅使用两个栈实现一个队列。
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- **模式**：使用一个栈进行入队操作，一个栈进行出队操作。当出队栈为空时，将所有元素从入队栈转移到出队栈（反转顺序）。
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```python
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class MyQueue:
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def __init__(self):
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self.push_stack = []
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self.pop_stack = []
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def push(self, x):
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self.push_stack.append(x)
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def pop(self):
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if not self.pop_stack:
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while self.push_stack:
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self.pop_stack.append(self.push_stack.pop())
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return self.pop_stack.pop()
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def peek(self):
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if not self.pop_stack:
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while self.push_stack:
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||
self.pop_stack.append(self.push_stack.pop())
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return self.pop_stack[-1]
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def empty(self):
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return not self.push_stack and not self.pop_stack
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```
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- 每次操作的平摊复杂度 $O(1)$：每个元素最多在两个栈之间移动一次。
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## 优先队列和堆
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- **优先队列**总是返回最小（或最大）的元素，不论插入顺序。标准实现是**二叉堆**。
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- **最小堆**是一棵完全二叉树，其中每个父节点都小于其子节点。最小值总是在根节点。以数组形式存储：节点 $i$ 的子节点在位置 $2i + 1$ 和 $2i + 2$。
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| 操作 | 时间 |
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|-----------|------|
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| 插入 | $O(\log n)$ |
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| 获取最小值 | $O(1)$ |
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| 提取最小值 | $O(\log n)$ |
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| 从数组构建堆 | $O(n)$ |
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- Python 的 `heapq` 模块提供了最小堆。对于最大堆，将值取反。
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```python
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import heapq
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# 最小堆
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h = []
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heapq.heappush(h, 5)
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heapq.heappush(h, 2)
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heapq.heappush(h, 8)
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print(heapq.heappop(h)) # 2（最小）
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# 最大堆技巧：取反
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heapq.heappush(h, -10)
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print(-heapq.heappop(h)) # 10（最大）
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```
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### 中等：数组中的第 K 个最大元素
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- **问题**：找到第 k 个最大的元素。
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- **模式**：维护一个大小为 $k$ 的最小堆。堆的根节点就是第 k 大的元素。如果堆有 $k$ 个元素且新元素大于根节点，则替换根节点。
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```python
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import heapq
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def find_kth_largest(nums, k):
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heap = nums[:k]
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heapq.heapify(heap) # O(k)
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for num in nums[k:]:
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if num > heap[0]:
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heapq.heapreplace(heap, num) # 弹出最小值，推入 num：O(log k)
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return heap[0]
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```
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- $O(n \log k)$ 时间，$O(k)$ 空间。当 $k \ll n$ 时，这比排序（$O(n \log n)$）好得多。
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- **陷阱**：使用大小为 $n$ 的最大堆并弹出 $k$ 次也可行但较慢：$O(n + k \log n)$。大小为 $k$ 的最小堆是最优方法。
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### 困难：合并 K 个排序链表
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- **问题**：合并 $k$ 个已排序链表为一个排序链表。
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- **模式**：使用一个包含每个链表头节点的最小堆。弹出最小的节点，将其添加到结果中，并将其下一个节点推入堆中。
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```python
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import heapq
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def merge_k_lists(lists):
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heap = []
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for i, lst in enumerate(lists):
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if lst:
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heapq.heappush(heap, (lst.val, i, lst))
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dummy = ListNode(0)
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curr = dummy
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while heap:
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val, i, node = heapq.heappop(heap)
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curr.next = node
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curr = curr.next
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if node.next:
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heapq.heappush(heap, (node.next.val, i, node.next))
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return dummy.next
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```
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- $O(n \log k)$，其中 $n$ 是总节点数。堆中最多有 $k$ 个元素。
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- **陷阱**：堆元组中的 `i`（索引）是用于打破平局的。没有它，当值相等时 Python 会尝试比较 `ListNode` 对象，这会崩溃因为 `ListNode` 不支持 `<`。索确保了一有效的比较。
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## 常见陷阱总结
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| 陷阱 | 示例 | 修复 |
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|---------|---------|-----|
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| `fast.next` 上的空指针 | 循环检测中使用 `while fast.next` | 检查 `fast and fast.next` |
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| 未处理空链表 | 反转 `None` | 添加 `if not head` 守卫 |
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| 栈下溢 | 从空栈弹出 | 检查 `len(stack) > 0` 或 `if stack` |
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| 忘记哨兵 | 直方图遗漏了最后的条形 | 追加 0 来清空栈 |
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| 堆中缺少平局打破 | 比较不可比较的对象 | 向堆元组添加索引 |
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| 遍历时修改链表 | 遍历时删除节点 | 使用 prev/curr 模式或虚拟头节点 |
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## 课后练习题（NeetCode）
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### 链表
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- [反转链表](https://neetcode.io/problems/reverse-a-linked-list) — 基础的原地反转
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- [合并两个有序链表](https://neetcode.io/problems/merge-two-sorted-linked-lists) — 双指针合并
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||
- [环形链表](https://neetcode.io/problems/linked-list-cycle-detection) — 快慢指针
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||
- [重排链表](https://neetcode.io/problems/reorder-linked-list) — 找中间 + 反转 + 合并
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||
- [删除链表的倒数第 N 个节点](https://neetcode.io/problems/remove-node-from-end-of-linked-list) — 间距为 $n$ 的双指针
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||
- [LRU 缓存](https://neetcode.io/problems/lru-cache) — 哈希表 + 双向链表
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||
### 栈
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||
- [有效的括号](https://neetcode.io/problems/validate-parentheses) — 括号匹配
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||
- [最小栈](https://neetcode.io/problems/minimum-stack) — 在每层跟踪最小值
|
||
- [逆波兰表达式求值](https://neetcode.io/problems/evaluate-reverse-polish-notation) — 基于栈的求值
|
||
- [每日温度](https://neetcode.io/problems/daily-temperatures) — 单调递减栈
|
||
- [柱状图中最大的矩形](https://neetcode.io/problems/largest-rectangle-in-histogram) — 单调递增栈
|
||
- [车队](https://neetcode.io/problems/car-fleet) — 带到达时间的栈
|
||
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||
### 堆 / 优先队列
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||
- [数据流中的第 K 大元素](https://neetcode.io/problems/kth-largest-integer-in-a-stream) — 大小为 $k$ 的最小堆
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||
- [最后一块石头的重量](https://neetcode.io/problems/last-stone-weight) — 最大堆模拟
|
||
- [最接近原点的 K 个点](https://neetcode.io/problems/k-closest-points-to-origin) — 按距离排序的最小堆
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||
- [任务调度器](https://neetcode.io/problems/task-scheduler) — 贪心 + 最大堆 + 冷却时间
|
||
- [数据流的中位数](https://neetcode.io/problems/find-median-in-a-data-stream) — 双堆（下半部分用最大堆，上半部分用最小堆）
|