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卷积网络

卷积神经网络直接从像素数据中学习空间特征层级，用梯度优化的滤波器取代人工设计的滤波器。本文涵盖卷积机制、池化、步长、空洞卷积、感受野，以及定义了图像分类的标志性架构（LeNet、AlexNet、VGG、ResNet、Inception、EfficientNet）。

• 在文件 01 中，我们手工设计了用于边缘检测、模糊和角点检测的滤波器。一个自然而然的问题是：我们能否从数据中学习最优的滤波器？这正是卷积神经网络（CNN）所做的。

• CNN 不是手动选择滤波器权重，而是通过梯度下降（第 06 章）学习它们，发现对当前任务直接有用的特征。

• 在第 06 章中，我们介绍了卷积操作、CNN 基础以及滤波器学习的思想。在这里，我们深入探讨使 CNN 在十多年来成为计算机视觉主导范式的架构创新。

• 回顾核心的卷积操作：一个大小为 k \times k 的滤波器 K 在输入特征图上滑动，在每个位置计算点积（第 06 章）。输出大小由三个超参数控制：

  • 步长：滤波器在位置之间移动的像素数。步长 1 意味着滤波器每次移动一个像素。步长 2 意味着每次移动两个像素，空间维度减半。步长卷积是下采样时池化的一种替代方案。
  • 填充：在输入边界周围添加零。"Same"填充（$p = \lfloor k/2 \rfloor$）保持空间维度不变。"Valid"填充（$p = 0$）会减小空间维度。
  • 空洞卷积：在滤波器元素之间插入间隙。一个 3x3 的滤波器以空洞率 2 工作，仅用 9 个参数就覆盖了 5x5 的感受野。空洞卷积扩大了感受野而不增加计算量。

• 卷积后的输出空间大小：

\text{out} = \left\lfloor \frac{\text{in} - k + 2p}{s} \right\rfloor + 1

• 其中 \text{in} 是输入大小，k 是卷积核大小，p 是填充，s 是步长。该公式独立地适用于高度和宽度。

• 感受野是指能够影响某个神经元值的原始输入区域。

  • 早期层的感受野较小（它们看到的是边缘等局部模式）。
  • 更深层的感受野较大（它们看到的是物体部件等更大的结构）。

• 感受野随着每一层增长：大致每层卷积增加 k - 1 个像素（加入步长或空洞卷积时增长更多）。

• 池化层在保留最重要信息的同时降低空间维度。

  • 最大池化取每个窗口中的最大值，保留最强的激活（最突出的特征）。
  • 平均池化取均值，平滑特征图。一个 2x2 的池化窗口配合步长 2 会使两个空间维度都减半。

• 全局平均池化（GAP） 将每个通道的整个空间范围平均为单个数值，生成一个长度等于通道数的向量。GAP 取代了许多现代架构末尾的全连接层，大幅减少了参数量，并起到了结构正则化的作用。

• 批归一化（BatchNorm） 将每个小批量内的激活值归一化为零均值和单位方差，然后应用可学习的缩放和平移（第 06 章）。在 CNN 中，批归一化按通道应用：统计量在跨批次和空间维度上为每个通道独立计算。它稳定了训练，允许使用更高的学习率，并起到轻度正则化的作用。

• 丢弃法（第 06 章）在训练期间随机将神经元置零。

• 在 CNN 中，空间丢弃法（Dropout2D） 丢弃整个特征图通道而非单个像素，这更为有效，因为特征图中相邻像素高度相关。

• 数据增广通过在训练期间对每张图像应用随机变换来人为地扩展训练集：水平翻转、随机裁剪、旋转、颜色抖动（调整亮度、对比度、饱和度、色调）以及 cutout（遮挡随机矩形区域）。网络以多种不同形式看到每张图像，迫使其学习变换不变的特征，而非记忆特定的像素模式。

• 高级增广策略包括 Mixup（混合两张图像及其标签：$\tilde{x} = \lambda x_i + (1-\lambda) x_j$，$\tilde{y} = \lambda y_i + (1-\lambda) y_j$）、CutMix（将一张图像的矩形区域粘贴到另一张图像上，并按面积比例混合标签）以及 RandAugment（从一个固定集合中随机采样一系列增广操作，使用单一的强度参数）。

• CNN 架构的历史是一个逐步走向更深、更高效设计的故事，每一步都解决了限制前代架构的问题。

• LeNet-5（LeCun 等人，1998 年）是最早的 CNN，专为手写数字识别设计。两个卷积层后接三个全连接层，使用平均池化和 tanh 激活函数。它证明了学习到的滤波器优于手工设计的特征，但按现代标准来看很小（6 万个参数）。

• AlexNet（Krizhevsky 等人，2012 年）以巨大优势赢得了 ImageNet 竞赛，引发了深度学习革命。关键创新：ReLU 激活函数（取代了存在梯度消失问题的 tanh）、用于正则化的丢弃法、数据增广以及在 GPU 上训练。五个卷积层，三个全连接层，6000 万个参数。

• VGG（Simonyan 和 Zisserman，2014 年）证明，仅使用 3x3 滤波器并深层堆叠效果优于更大的滤波器。两个堆叠的 3x3 滤波器具有与一个 5x5 滤波器相同的感受野，但参数更少（2 \times 3^2 = 18 对比 $5^2 = 25$）且多了一个非线性层。VGG-16（16 层）和 VGG-19（19 层）至今仍被广泛用作特征提取器。架构非常简单：卷积块通道数递增（64、128、256、512），每个块后接最大池化。

• GoogLeNet/Inception（Szegedy 等人，2014 年）引入了 Inception 模块：不是选择单一的滤波器大小，而是并行使用 1x1、3x3 和 5x5 卷积，将它们的输出拼接起来，让网络决定哪个尺度最有用。1x1 卷积在较大滤波器之前用作瓶颈以减少计算量。GoogLeNet 以比 VGG 少 12 倍的参数（680 万对比 1.38 亿）实现了更高的准确率。

• Inception 模块同时捕获多个尺度的特征。1x1 滤波器捕获逐点模式，3x3 捕获局部纹理，5x5 捕获更大的结构。拼接将所有视角组合成丰富的表示。

• ResNet（He 等人，2016 年）解决了退化问题：更深的网络表现反而不如较浅的网络，这不是因为过拟合，而是因为更深的网络更难优化。解决方案是跳跃连接（残差连接）：

\text{output} = F(x) + x

• 该层学习残差 $F(x) = \text{output} - x$。如果最优变换接近恒等映射（这在深层网络中很常见），学习一个接近零的残差比学习完整的映射要容易得多。跳跃连接还提供了直接的梯度通道，减少了梯度消失问题。ResNet 训练了 152 层的网络，远超此前任何架构。

• 当输入和输出维度不同时（由于步长或通道数变化），投影捷径会应用一个 1x1 卷积来匹配 x 的维度：$\text{output} = F(x) + W_s x$。

• 瓶颈块（用于 ResNet-50 及更深版本）使用三个卷积：1x1 降通道，3x3 进行空间处理，1x1 再将通道数恢复。这比两个 3x3 卷积计算量更小，允许构建更深的网络。

• DenseNet（Huang 等人，2017 年）将跳跃连接的思想进一步推进：在一个密集块内，每一层都与所有后续层相连。第 l 层接收前面所有层的特征图作为输入：$x_l = H_l([x_0, x_1, \ldots, x_{l-1}])$，其中 [\cdot] 表示沿通道维度的拼接。这促进了特征复用，增强了梯度流动，并减少了总参数量。

• 高效架构面向移动设备和边缘硬件上的部署，这些场景下计算、内存和能耗都受到限制。

• MobileNet（Howard 等人，2017 年）用深度可分离卷积取代了标准卷积，将操作分解为两个步骤：

  1. 深度卷积：每个输入通道应用一个独立的 k \times k 滤波器（不跨通道交互）
  2. 逐点卷积：应用 1x1 卷积来组合跨通道的信息

• 一个标准 k \times k 卷积，输入通道数为 $C_{\text{in}}$，输出通道数为 $C_{\text{out}}$，每个空间位置需要 k^2 \cdot C_{\text{in}} \cdot C_{\text{out}} 次乘法。深度可分离卷积需要 k^2 \cdot C_{\text{in}} + C_{\text{in}} \cdot C_{\text{out}} 次，减少了大约 k^2 倍。对于 3x3 滤波器，这大约便宜 9 倍。

• MobileNet-V2 引入了逆残差块：先用 1x1 卷积扩展通道，在扩展空间中应用深度卷积，再用 1x1 卷积投影回低维。跳跃连接放置在窄（瓶颈）层上，与 ResNet 的模式相反。扩展率通常为 6。

• EfficientNet（Tan 和 Le，2019 年）引入了复合缩放：不是独立地仅缩放深度、或仅缩放宽度、或仅缩放分辨率，而是使用固定比例同时缩放所有三个维度。给定缩放系数 $\phi$：

\text{depth}: d = \alpha^\phi, \quad \text{width}: w = \beta^\phi, \quad \text{resolution}: r = \gamma^\phi

• 约束条件为 $\alpha \cdot \beta^2 \cdot \gamma^2 \approx 2$（这样 \phi 每增加一个单位，总计算量大约翻倍）。通过网格搜索得到基线比例 $\alpha = 1.2$，$\beta = 1.1$，$\gamma = 1.15$。EfficientNet-B0 到 B7 逐步放大，以远少于之前模型的参数和 FLOPs 达到了最先进的准确率。

• ShuffleNet 通过使用分组卷积后接通道混洗来降低 1x1 卷积（在 MobileNet 风格的架构中占主导）的成本。分组卷积将通道分成多个组，在每个组内独立进行卷积，但这阻止了跨组的信息流动。混洗操作在组之间重新排列通道，以可忽略不计的成本恢复了信息混合。

• 迁移学习是将在一个任务上训练好的模型适配到不同任务的实践。在计算机视觉中，这几乎总是意味着从一个在 ImageNet（140 万张图像，1000 个类别）上预训练的模型开始，适配到特定领域的数据集（医学图像、卫星图像、制造缺陷检测）。

• 特征提取：冻结所有卷积层，移除最终的分类头，仅在上面训练一个新的分类头。冻结的层充当通用特征提取器。当目标域与 ImageNet 相似且目标数据集较小时，这种方法效果很好。

• 微调：解冻部分或全部卷积层，以较小的学习率进行训练。预训练的权重作为起点而非固定特征。微调通常先解冻后面的层（这些层捕获高级的、任务特定的特征），再根据需要解冻更早的层。

• 迁移学习之所以有效，是因为 CNN 的早期层学习通用特征（边缘、纹理、颜色），这些特征对各种任务都有用，而后面层学习任务特定的特征。一个用于分类动物的网络，其边缘检测器对分类建筑物仍然有用。

• 可视化 CNN 可以揭示网络学到了什么，并帮助调试意外行为。

• 激活图（特征图）展示了给定输入图像下每个滤波器的输出。早期层的激活图看起来像边缘图；更深层的激活图则越来越抽象，空间上越来越粗糙。

• Grad-CAM（梯度加权类别激活映射，Selvaraju 等人，2017 年）高亮了输入图像中对模型预测最重要的区域。其工作原理是：

  1. 计算目标类别分数相对于最后一个卷积层特征图的梯度（使用第 03 章的链式法则）
  2. 对这些梯度进行全局平均池化，得到每个通道的重要性权重
  3. 计算特征图的加权组合并应用 ReLU

L_{\text{Grad-CAM}} = \text{ReLU}\!\left(\sum_k \alpha_k A^k\right), \quad \alpha_k = \frac{1}{Z} \sum_i \sum_j \frac{\partial y^c}{\partial A^k_{ij}}

• 其中 A^k 是第 k 个特征图，\alpha_k 是通道 k 的重要性权重，y^c 是类别 c 的分数。结果是一个粗糙的热力图，显示哪些区域驱动了分类。应用 ReLU 是因为我们只对具有正影响分类的特征感兴趣。

• 特征反演通过优化一张随机图像使其匹配目标特征（对像素值进行梯度下降），从特征表示中重建输入图像。这揭示了网络在各层保留了哪些信息。浅层几乎能完美重建图像；深层产生的图像可识别但有所扭曲，这表明精细的空间细节丢失了，而语义内容得以保留。

• Deep Dream 和神经风格迁移是特征可视化的创意应用。Deep Dream 最大化选定层中神经元的激活，产生超现实的、放大模式的图像。神经风格迁移优化目标图像，使其同时匹配一张图像的内容特征（来自深层）和另一张图像的风格特征（滤波器激活的 Gram 矩阵，捕获纹理统计信息）。

编程任务（使用 CoLab 或 notebook）

1. 用 JAX 从头实现一个简单的 CNN，包含两个卷积层、最大池化和一个分类头。在一个合成的二维模式分类任务上训练它。

import jax
import jax.numpy as jnp
import jax.lax as lax
import matplotlib.pyplot as plt

def conv2d(x, kernel, stride=1):
    """简单 2D 卷积，单输入，单滤波器。"""
    return lax.conv(x[None, None], kernel[None, None], (stride, stride), 'SAME')[0, 0]

def max_pool(x, size=2):
    """2x2 最大池化。"""
    H, W = x.shape
    x = x[:H//size*size, :W//size*size]
    return x.reshape(H//size, size, W//size, size).max(axis=(1, 3))

def init_cnn(key):
    k1, k2, k3 = jax.random.split(key, 3)
    return {
        'conv1': jax.random.normal(k1, (5, 5)) * 0.3,
        'conv2': jax.random.normal(k2, (3, 3)) * 0.3,
        'fc_w': jax.random.normal(k3, (64, 1)) * 0.1,
        'fc_b': jnp.zeros(1),
    }

def forward_cnn(params, img):
    # Conv1 -> ReLU -> Pool
    h = jnp.maximum(0, conv2d(img, params['conv1']))
    h = max_pool(h)
    # Conv2 -> ReLU -> Pool
    h = jnp.maximum(0, conv2d(h, params['conv2']))
    h = max_pool(h)
    # Flatten and classify
    flat = h.ravel()
    # Pad or truncate to fixed size
    flat = jnp.pad(flat, (0, max(0, 64 - len(flat))))[:64]
    logit = (flat @ params['fc_w'] + params['fc_b']).squeeze()
    return jax.nn.sigmoid(logit)

# Generate synthetic data: class 0 = low-freq pattern, class 1 = high-freq
def make_data(key, n=200):
    images, labels = [], []
    for i in range(n):
        k1, key = jax.random.split(key)
        x, y = jnp.meshgrid(jnp.linspace(0, 4*jnp.pi, 32), jnp.linspace(0, 4*jnp.pi, 32))
        if i < n // 2:
            img = jnp.sin(x) + jax.random.normal(k1, (32, 32)) * 0.1
            labels.append(0)
        else:
            img = jnp.sin(4 * x) * jnp.sin(4 * y) + jax.random.normal(k1, (32, 32)) * 0.1
            labels.append(1)
        images.append(img)
    return images, jnp.array(labels, dtype=jnp.float32)

key = jax.random.PRNGKey(42)
images, labels = make_data(key)
params = init_cnn(jax.random.PRNGKey(0))

def loss_fn(params, img, label):
    pred = forward_cnn(params, img)
    return -(label * jnp.log(pred + 1e-7) + (1 - label) * jnp.log(1 - pred + 1e-7))

grad_fn = jax.grad(loss_fn)
lr = 0.01

for epoch in range(5):
    total_loss = 0.0
    for img, label in zip(images, labels):
        grads = grad_fn(params, img, label)
        params = {k: params[k] - lr * grads[k] for k in params}
        total_loss += loss_fn(params, img, label)
    print(f"Epoch {epoch}: loss = {total_loss / len(images):.4f}")

# Test accuracy
preds = jnp.array([forward_cnn(params, img) > 0.5 for img in images])
acc = jnp.mean(preds == labels)
print(f"Accuracy: {acc:.2%}")

2. 可视化不同滤波器大小如何影响感受野。展示两个堆叠的 3x3 滤波器与一个 5x5 滤波器覆盖相同的感受野，但参数更少。

import jax.numpy as jnp
import matplotlib.pyplot as plt

def compute_receptive_field(layers):
    """从一组 (kernel_size, stride) 元组计算感受野大小。"""
    rf = 1  # 从 1 个像素开始
    stride_product = 1
    for k, s in layers:
        rf += (k - 1) * stride_product
        stride_product *= s
    return rf

# Compare architectures
configs = {
    'Single 5x5': [(5, 1)],
    'Two 3x3':    [(3, 1), (3, 1)],
    'Three 3x3':  [(3, 1), (3, 1), (3, 1)],
    'Single 7x7': [(7, 1)],
    '3x3 stride 2 + 3x3': [(3, 2), (3, 1)],
}

print(f"{'Config':<25} {'RF':>4} {'Params (per channel)':>20}")
print('-' * 55)
for name, layers in configs.items():
    rf = compute_receptive_field(layers)
    # Parameters: sum of k^2 for each layer (per input-output channel pair)
    params = sum(k * k for k, s in layers)
    print(f"{name:<25} {rf:>4} {params:>20}")

# Visualise receptive fields
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(14, 4))
for ax, (name, rf_size) in zip(axes, [('5x5 filter', 5), ('Two 3x3 filters', 5), ('Three 3x3 filters', 7)]):
    grid = jnp.zeros((9, 9))
    c = 4  # centre
    half = rf_size // 2
    grid = grid.at[c-half:c+half+1, c-half:c+half+1].set(1.0)
    ax.imshow(grid, cmap='Blues', vmin=0, vmax=1)
    ax.set_title(f'{name}\nRF = {rf_size}x{rf_size}')
    ax.set_xticks(range(9)); ax.set_yticks(range(9))
    ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.suptitle('Receptive Field Comparison')
plt.tight_layout(); plt.show()

3. 从头实现 Grad-CAM。给定一个预构建的简单 CNN，计算针对特定类别的梯度加权激活图，并将其可视化为热力图。

import jax
import jax.numpy as jnp
import matplotlib.pyplot as plt

def simple_cnn(params, img):
    """返回预测和最后一个卷积层激活的简单 CNN。"""
    # Conv layer (our "last conv layer" for Grad-CAM)
    H, W = img.shape
    k = params['conv'].shape[0]
    pad = k // 2
    img_pad = jnp.pad(img, pad, mode='edge')
    activation_map = jnp.zeros((H, W))
    for i in range(H):
        for j in range(W):
            activation_map = activation_map.at[i, j].set(
                jnp.sum(img_pad[i:i+k, j:j+k] * params['conv'])
            )
    activation_map = jnp.maximum(0, activation_map)  # ReLU

    # Global average pool -> dense -> output
    pooled = activation_map.mean()
    logit = pooled * params['w'] + params['b']
    return jax.nn.sigmoid(logit), activation_map

# Create test image: bright region on the left (class indicator)
img = jnp.zeros((32, 32))
img = img.at[8:24, 4:16].set(1.0)
img = img.at[5:10, 20:28].set(0.3)

key = jax.random.PRNGKey(42)
params = {
    'conv': jax.random.normal(key, (5, 5)) * 0.3,
    'w': jnp.array(2.0),
    'b': jnp.array(-0.5),
}

# Compute Grad-CAM
def class_score(params, img):
    pred, _ = simple_cnn(params, img)
    return pred

# Get activation map and gradients
pred, act_map = simple_cnn(params, img)
grad_fn = jax.grad(lambda img: simple_cnn(params, img)[0])
img_grad = grad_fn(img)

# Weight = global average of gradients (simplified 1-channel Grad-CAM)
alpha = img_grad.mean()
grad_cam = jnp.maximum(0, alpha * act_map)  # ReLU
grad_cam = (grad_cam - grad_cam.min()) / (grad_cam.max() - grad_cam.min() + 1e-8)

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(14, 4))
axes[0].imshow(img, cmap='gray'); axes[0].set_title('Input Image'); axes[0].axis('off')
axes[1].imshow(act_map, cmap='viridis'); axes[1].set_title('Activation Map'); axes[1].axis('off')
axes[2].imshow(img, cmap='gray', alpha=0.6)
axes[2].imshow(grad_cam, cmap='jet', alpha=0.4)
axes[2].set_title(f'Grad-CAM (pred={pred:.2f})'); axes[2].axis('off')
plt.tight_layout(); plt.show()

4. 比较深度可分离卷积与标准卷积。统计两者的参数和 FLOPs，并展示它们在计算量少得多的情况下产生相似的输出。

import jax
import jax.numpy as jnp

def standard_conv(x, kernel):
    """标准卷积：(H, W, C_in) * (k, k, C_in, C_out) -> (H, W, C_out)。"""
    H, W, C_in = x.shape
    k, _, _, C_out = kernel.shape
    pad = k // 2
    x_pad = jnp.pad(x, ((pad, pad), (pad, pad), (0, 0)), mode='constant')
    out = jnp.zeros((H, W, C_out))
    for i in range(H):
        for j in range(W):
            patch = x_pad[i:i+k, j:j+k, :]  # (k, k, C_in)
            for c in range(C_out):
                out = out.at[i, j, c].set(jnp.sum(patch * kernel[:, :, :, c]))
    return out

def depthwise_separable_conv(x, dw_kernel, pw_kernel):
    """深度可分离：深度卷积 (k,k,C_in) 然后逐点卷积 (C_in, C_out)。"""
    H, W, C_in = x.shape
    k = dw_kernel.shape[0]
    pad = k // 2
    x_pad = jnp.pad(x, ((pad, pad), (pad, pad), (0, 0)), mode='constant')

    # Depthwise: one filter per channel
    dw_out = jnp.zeros((H, W, C_in))
    for i in range(H):
        for j in range(W):
            for c in range(C_in):
                patch = x_pad[i:i+k, j:j+k, c]
                dw_out = dw_out.at[i, j, c].set(jnp.sum(patch * dw_kernel[:, :, c]))

    # Pointwise: 1x1 conv across channels
    out = dw_out @ pw_kernel
    return out

# Setup
H, W, C_in, C_out, k = 8, 8, 16, 32, 3
key = jax.random.PRNGKey(42)
k1, k2, k3, k4 = jax.random.split(key, 4)

x = jax.random.normal(k1, (H, W, C_in))
std_kernel = jax.random.normal(k2, (k, k, C_in, C_out)) * 0.1
dw_kernel = jax.random.normal(k3, (k, k, C_in)) * 0.1
pw_kernel = jax.random.normal(k4, (C_in, C_out)) * 0.1

# Compare
std_params = k * k * C_in * C_out
dw_params = k * k * C_in + C_in * C_out

std_flops = H * W * k * k * C_in * C_out
dw_flops = H * W * (k * k * C_in + C_in * C_out)

print(f"Standard conv:            {std_params:>8,} params,  {std_flops:>10,} FLOPs")
print(f"Depthwise separable conv: {dw_params:>8,} params,  {dw_flops:>10,} FLOPs")
print(f"Parameter reduction:      {std_params / dw_params:.1f}x")
print(f"FLOP reduction:           {std_flops / dw_flops:.1f}x")

std_out = standard_conv(x, std_kernel)
ds_out = depthwise_separable_conv(x, dw_kernel, pw_kernel)
print(f"\nStandard output shape:    {std_out.shape}")
print(f"Depthwise sep output shape: {ds_out.shape}")