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图注意力网络

图注意力网络将均匀的邻居聚合替换为学习到的、依赖数据的加权。本章涵盖GAT、多头图注意力、GATv2、图Transformer、位置和结构编码以及可扩展性

• 在GCN（文件3）中，每个节点使用由图结构确定的固定权重（归一化邻接矩阵）聚合其邻居特征。一个有三个邻居的节点会给每个邻居大致相等的权重（$\approx 1/3$）。但并非所有邻居都同等重要：来自密切合作者的消息应比来自远方熟人的消息更重要。

• 图注意力网络通过使用与Transformer（第7章）相同的注意力机制来学习关注哪些邻居，从而解决了这一问题。与固定的、基于结构的权重不同，每个节点在其邻居上计算动态的、基于内容的注意力分数。

GAT：图注意力网络

• GAT（Veličković等，2018）计算每个节点与其邻居之间的注意力系数。对于节点 i 和邻居 $j$：

e_{ij} = \text{LeakyReLU}\left(\mathbf{a}^T \left[W\mathbf{h}_i \| W\mathbf{h}_j\right]\right)

• 其中 W \in \mathbb{R}^{d' \times d} 是共享的线性变换，\| 表示拼接，\mathbf{a} \in \mathbb{R}^{2d'} 是可学习的注意力向量。分数 e_{ij} 衡量节点 j 的特征对节点 i 的重要程度。

• 原始分数使用softmax在所有邻居之间进行归一化：

\alpha_{ij} = \text{softmax}_j(e_{ij}) = \frac{\exp(e_{ij})}{\sum_{k \in \mathcal{N}(i)} \exp(e_{ik})}

• 这确保了每个节点邻域上的注意力权重之和为1，就像Transformer注意力一样（第7章）。节点更新后的特征为：

\mathbf{h}_i' = \sigma\left(\sum_{j \in \mathcal{N}(i)} \alpha_{ij} W\mathbf{h}_j\right)

• 与GCN的关键区别：权重 \alpha_{ij} 是从数据中学习的，而非由图结构固定。节点可以学会关注信息量最大的邻居，同时忽略噪声或无关的邻居。

• 注意，注意力仅在边上计算（节点 i 只关注其邻居 $\mathcal{N}(i)$），而不是在所有节点对之间。这使得计算量与边的数量成正比，而不是节点数的平方。

多头图注意力

• 正如在Transformer中（第7章），多头注意力并行运行 K 个独立的注意力机制，每个都有自己的参数 W^k 和 $\mathbf{a}^k$。结果在中间层进行拼接，在最终层取平均：

\mathbf{h}_i' = \Big\|_{k=1}^{K} \sigma\left(\sum_{j \in \mathcal{N}(i)} \alpha_{ij}^k W^k \mathbf{h}_j\right)

• 每个头可以关注邻域的不同方面：一个头可能关注结构特征，另一个关注语义相似性。这与Transformer中多头注意力的动机相同：不同的头捕获不同类型的关系。

• 使用 K 个头和每个头输出维度 $d'$，拼接后的输出维度为 $K \times d'$。最后一层通常使用平均而不是拼接来产生固定大小的输出。

GATv2：修复静态注意力

• 原始GAT有一个微妙的限制：其注意力函数是静态的（也称为基于排序的）。注意力分数取决于拼接 $[W\mathbf{h}_i | W\mathbf{h}_j]$，但由于注意力向量 \mathbf{a} 在拼接之后应用，它可以分解为两个独立的分量：$\mathbf{a}^T [W\mathbf{h}_i | W\mathbf{h}_j] = \mathbf{a}_1^T W\mathbf{h}_i + \mathbf{a}_2^T W\mathbf{h}_j$。

• 这意味着对于给定节点 $i$，邻居的排序完全由邻居的特征 \mathbf{h}_j 决定（项 \mathbf{a}_1^T W\mathbf{h}_i 在 i 的所有邻居中是常数）。注意力排名并不真正依赖于查询节点的特征。节点 i 和节点 k 将以完全相同的方式对同一组邻居进行排序，这限制了表达能力。

• GATv2（Brody等，2022）通过在注意力向量之前应用非线性函数来修复这个问题：

e_{ij} = \mathbf{a}^T \text{LeakyReLU}\left(W \left[\mathbf{h}_i \| \mathbf{h}_j\right]\right)

• 将LeakyReLU移到计算内部意味着注意力分数是联合特征的非线性函数，不能分解为独立项。这使得注意力变为动态：邻居的排序现在依赖于特定的查询节点。GATv2严格比GAT更具表达能力，且没有额外的计算成本。

图Transformer

• 标准消息传递GNN受到图拓扑的限制：一个节点只能关注其直接邻居。经过 k 层后，来自 k 跳邻居的信息已通过多个聚合步骤混合，失去了保真度。这种局部瓶颈（再加上文件3中的过平滑）限制了捕获长距离依赖关系的能力。

• 图Transformer通过将全局自注意力应用于所有节点对（无论它们之间是否有边）来突破这个瓶颈。每个节点可以在单层中关注每个其他节点，就像标准Transformer一样（第7章）。

• 基本思想：将所有节点视为标记（token），应用Transformer自注意力：

\text{Attention}(Q, K, V) = \text{softmax}\left(\frac{QK^T}{\sqrt{d_k}}\right)V

• 其中 $Q = XW_Q$，$K = XW_K$，V = XW_V 是节点特征 X 的查询、键和值投影（与第7章完全相同）。这是完全连接图（完全图 $K_n$，文件2）上的GNN。

• 问题：完全连接图忽略了实际的图结构。边信息（谁实际连接到谁）丢失了。两种方法恢复了这一点：

• Graphormer（Ying等，2021）通过注意力分数中的偏置项将图结构注入Transformer：

A_{ij} = \frac{(\mathbf{h}_i W_Q)(W_K^T \mathbf{h}_j^T)}{\sqrt{d_k}} + b_{\text{spatial}}(i, j) + b_{\text{edge}}(i, j)

• 空间偏置 b_{\text{spatial}} 编码节点 i 和 j 之间的最短路径距离。边偏置 b_{\text{edge}} 编码沿最短路径的边特征。此外，Graphormer使用中心性编码，将节点的度数添加到其输入嵌入中，为模型提供关于每个节点结构角色的信息。

• GPS（通用、强大、可扩展的图Transformer，Rampášek等，2022）在每一层中结合了局部消息传递和全局注意力：

\mathbf{h}_i' = \text{MLP}\left(\mathbf{h}_i^{\text{MPNN}} + \mathbf{h}_i^{\text{Attention}}\right)

• 每一层同时应用标准GNN（用于局部结构）和Transformer（用于全局上下文），然后组合结果。这获得了两个世界的优点：来自消息传递的局部结构和来自注意力的长距离依赖关系。

位置编码与结构编码

• 序列上的Transformer使用位置编码（第7章）来注入顺序信息。图没有规范的顺序，因此需要特定于图的编码。

• 拉普拉斯特征向量编码使用图拉普拉斯算子（文件2）的特征向量作为位置特征。k 个最小的非平凡特征向量提供了图的谱嵌入：在图中"附近"的节点具有相似的特征向量值。这些被拼接到节点特征中。

• 一个微妙之处：拉普拉斯特征向量有符号模糊性（如果 \mathbf{u} 是特征向量，-\mathbf{u} 也是）。模型必须对这些符号翻转保持不变。解决方案包括在训练期间使用随机符号翻转作为数据增强，或学习符号不变的变换。

• 随机游走编码计算从节点 i 开始的随机游走经过 k 步后返回节点 i 的概率，对于 $k = 1, 2, \ldots, K$。这些概率编码了局部结构信息：密集簇中的节点具有高的返回概率，而稀疏区域中的节点返回概率低。着陆概率 $p_{ii}^{(k)} = (A_{\text{rw}}^k)_{ii}$，其中 A_{\text{rw}} = D^{-1}A 是随机游走转移矩阵。

• 度数编码简单地将节点度数作为一个特征添加。这出奇地有效，因为度数是一个强大的结构信号：叶节点（度数为1）、桥接节点和枢纽节点的行为不同。

• 这些编码提供了普通Transformer所缺乏的结构信息，使图Transformer在需要长距离推理的任务上能够超越标准消息传递GNN。

可扩展性

• GNN的基本可扩展性挑战在于图可能拥有数百万个节点和数十亿条边。在完整图上训练GNN需要将所有节点特征和整个邻接矩阵存储在内存中，这通常是不可行的。

• GNN的小批量训练比图像或序列更复杂，因为节点之间是相互连接的。朴素地采样一批节点需要它们的邻居（第1层）、邻居的邻居（第2层），依此类推。这种邻域爆炸意味着一个包含1000个目标节点的小批量可能需要计算图中数百万个节点。

• 邻域采样（GraphSAGE风格，文件3）通过每层每个节点采样固定数量的邻居来限制爆炸。使用2层和每层15个样本，每个目标节点的子图最多有 15^2 = 225 个节点，与完整图的大小无关。

• Cluster-GCN（Chiang等，2019）使用图聚类算法（例如METIS）将图划分为簇，然后一次在一个簇上训练。簇内边是密集的（大多数邻居在同一个簇内），因此子图捕获了相关结构。跨簇边通过偶尔包含簇之间的边来处理。

• 图Transformer的可扩展性更困难，因为全局注意力是 O(n^2) 的。对于具有数百万个节点的图，完整的注意力是不可行的。解决方案包括：

  • 稀疏注意力模式（只关注图中距离最近的 k 个节点）
  • 线性注意力近似
  • 将局部消息传递（廉价，$O(|E|)$）与粗化图上的全局注意力（更少的节点）相结合

时序图与动态图

• 我们迄今为止研究的图是静态的：节点、边和特征都是固定的。但许多现实世界的图会随时间演化：新用户加入社交网络、金融交易创建边、交通模式全天变化、分子相互作用发生波动。

• 时序图为每条边增加一个时间戳：(i, j, t) 表示节点 i 在时间 t 与节点 j 发生了交互。挑战在于学习同时捕获图结构和时序动态的表示。

• 存在两种范式：

• 离散时间动态图（DTDG）：图被表示为一系列快照 $G_1, G_2, \ldots, G_T$，每个时间步一个。GNN处理每个快照，RNN或时序注意力机制捕获快照间的演化。这很简单，但丢失了精细的时间信息（快照之间的事件丢失了），并且需要选择快照频率。

• 连续时间动态图（CTDG）：事件被建模为带时间戳的交互流。每个事件 (i, j, t) 在其发生的准确时间更新节点 i 和 j 的表示。这保留了所有时序信息。

• 时序图网络（TGN）（Rossi等，2020）是领先的CTDG架构。每个节点维护一个记忆状态 $\mathbf{s}_i(t)$，每当节点参与交互时更新：

\mathbf{s}_i(t^+) = \text{GRU}\left(\mathbf{s}_i(t^-), \; \mathbf{m}_i(t)\right)

• 其中 \mathbf{m}_i(t) 是从交互中计算出的消息（结合了两个节点的特征、边特征和时间编码）。GRU（第6章）选择性地保留和遗忘过去的信息，使记忆能够捕获长期模式，同时适应近期事件。

• 时间编码表示自上次交互以来经过的时间，类似于Transformer中的位置编码（第7章）。常用方法使用可学习的傅里叶特征：

\Phi(t) = \left[\cos(\omega_1 t), \sin(\omega_1 t), \ldots, \cos(\omega_d t), \sin(\omega_d t)\right]

• 这为模型提供了时间间隔的丰富表示："该用户上次活跃是5分钟前"与"3个月前"以不同的方式嵌入。

• **时序图注意力（TGAT）**在节点的时间邻域上应用自注意力：一组最近的交互，每个交互同时按特征相关性（如GAT）和时间近度加权。来自遥远过去的交互自然地被降低权重。

• 应用包括欺诈检测（金融图中的异常交易模式）、交通预测（从历史流量模式预测拥堵）、社交网络动态（预测病毒内容传播）以及随时间推移的药物相互作用预测。

编程任务（使用CoLab或notebook）

1. 从头实现一个单头GAT注意力。计算节点与其邻居之间的注意力权重，并验证权重之和为1。

import jax
import jax.numpy as jnp

rng = jax.random.PRNGKey(0)
k1, k2, k3 = jax.random.split(rng, 3)

n_nodes, d_in, d_out = 5, 4, 3

# 随机节点特征
H = jax.random.normal(k1, (n_nodes, d_in))

# 可学习参数
W = jax.random.normal(k2, (d_in, d_out)) * 0.5
a = jax.random.normal(k3, (2 * d_out,)) * 0.5

# 邻接（节点0连接到1, 2, 3）
neighbours_of_0 = [1, 2, 3]

# 变换特征
Wh = H @ W  # (n_nodes, d_out)

# 计算节点0的注意力分数
h_i = Wh[0]
scores = []
for j in neighbours_of_0:
    h_j = Wh[j]
    e_ij = jnp.dot(a, jnp.concatenate([h_i, h_j]))
    e_ij = jax.nn.leaky_relu(e_ij, negative_slope=0.2)
    scores.append(float(e_ij))

scores = jnp.array(scores)
alpha = jax.nn.softmax(scores)

print(f"原始分数: {scores}")
print(f"注意力权重: {alpha}")
print(f"权重之和: {alpha.sum():.4f}")

# 加权聚合
h_new = sum(alpha[k] * Wh[neighbours_of_0[k]] for k in range(len(neighbours_of_0)))
print(f"更新后的节点0特征: {h_new}")

2. 比较GCN（固定权重）和GAT（学习权重）的聚合。展示GAT可以为邻居分配不同的权重，而GCN统一对待它们。

import jax
import jax.numpy as jnp

# 4个节点：节点0连接到1, 2, 3
A = jnp.array([[0,1,1,1],
               [1,0,0,0],
               [1,0,0,0],
               [1,0,0,0]], dtype=float)

# 特征：节点1非常相关，节点2是噪声，节点3中等
H = jnp.array([[0.0, 0.0],   # 节点0
               [1.0, 0.0],   # 节点1（信号）
               [0.0, 0.0],   # 节点2（噪声）
               [0.5, 0.0]])  # 节点3（中等）

# GCN：归一化邻接权重
A_hat = A + jnp.eye(4)
D_inv = jnp.diag(1.0 / A_hat.sum(axis=1))
gcn_weights = (D_inv @ A_hat)[0]  # 节点0的权重
print(f"GCN中节点0的权重: {gcn_weights}")
print("  → 所有邻居获得大致相等的权重")

# GAT：学习到的注意力（模拟）
# 假设注意力机制学会关注节点1
gat_weights = jnp.array([0.1, 0.7, 0.05, 0.15])  # 学习到的
print(f"\nGAT中节点0的权重: {gat_weights}")
print("  → 最具信息量的节点1获得最多关注")

gcn_output = gcn_weights @ H
gat_output = gat_weights @ H
print(f"\nGCN输出: {gcn_output}  （被噪声稀释）")
print(f"GAT输出: {gat_output}  （聚焦于信号）")

3. 演示位置编码的益处。计算图的拉普拉斯特征向量编码，展示结构相似的节点获得相似的编码。

import jax.numpy as jnp
import matplotlib.pyplot as plt

# 杠铃图：两个团由一条桥连接
n = 10
A = jnp.zeros((n, n))
# 团1：节点0-4
for i in range(5):
    for j in range(i+1, 5):
        A = A.at[i,j].set(1).at[j,i].set(1)
# 团2：节点5-9
for i in range(5, 10):
    for j in range(i+1, 10):
        A = A.at[i,j].set(1).at[j,i].set(1)
# 桥
A = A.at[4,5].set(1).at[5,4].set(1)

D = jnp.diag(A.sum(axis=1))
L = D - A
eigenvalues, eigenvectors = jnp.linalg.eigh(L)

# 使用前3个非平凡特征向量作为位置编码
pe = eigenvectors[:, 1:4]

print("拉普拉斯位置编码:")
for i in range(n):
    group = "团1" if i < 5 else "团2"
    bridge = " (桥)" if i in [4, 5] else ""
    print(f"  节点 {i} ({group}{bridge}): {pe[i]}")

plt.scatter(pe[:5, 0], pe[:5, 1], c="#3498db", s=80, label="团1")
plt.scatter(pe[5:, 0], pe[5:, 1], c="#e74c3c", s=80, label="团2")
plt.scatter(pe[[4,5], 0], pe[[4,5], 1], c="black", s=120, marker="*",
            label="桥节点", zorder=5)
plt.legend(); plt.grid(True)
plt.title("拉普拉斯特征向量位置编码")
plt.xlabel("特征向量 1"); plt.ylabel("特征向量 2")
plt.show()