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积分学

积分学在区间上累积量，将局部变化率还原为总量。本文涵盖定积分与不定积分、微积分基本定理、积分技巧，以及在机器学习中与概率密度和期望值的应用。

• 微分告诉我们单个点的变化率。积分则相反：它将许多微小片段累积起来，计算出一个总量。

• 如果导数回答的是"多快？"，那么积分回答的是"多少？"

• 理解积分最简单的方式是将其视为曲线下的面积。如果绘制出函数 f(x) 的图像，并将从 x = a 到 x = b 之间曲线与 x 轴之间的区域涂上阴影，积分给出的就是该区域的有符号面积。

• 为什么是"有符号"的？在 x 轴上方的区域贡献正面积，在下方的区域贡献负面积。这在物理上是有意义的：如果 f(x) 代表速度，积分给出的是净位移（正向减去反向），而不是总路程。

• 为了计算这个面积，想象将区域切成 n 个细长的竖直矩形，每个矩形的宽度为 $\Delta x$。每个矩形的高度是该切片内某一点的函数值。将它们求和：

\text{面积} \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i^\ast) \, \Delta x

• 当我们让矩形越来越薄时（$n \to \infty$，$\Delta x \to 0$），这个和就变得精确。这个极限过程定义了定积分：

\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^\ast) \, \Delta x

• \int 符号是拉长的"S"，代表"求和"（Sum）。dx 提醒我们，我们是在沿 x 轴方向对无穷薄的切片求和。

• 不定积分（或原函数）是一个函数 $F(x)$，其导数为 $f(x)$。我们写作：

\int f(x)\, dx = F(x) + C

• + C 是积分常数。因为任何常数的导数都是零，所以存在无穷多个仅相差一个常数的原函数。例如，$\int 2x, dx = x^2 + C$，因为 x^2 + 7 或 x^2 - 3 的导数仍然是 $2x$。

• 微积分基本定理是连接微分与积分的桥梁。它包含两部分：

• 第一部分：如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，那么定积分等于 F 在端点处的值之差：

\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)

• 这非常实用。我们不再需要计算一个和的极限（这很困难），而是找到一个原函数并在两点处求值（这通常很简单）。

• 第二部分：如果我们定义 $F(x) = \int_a^x f(t), dt$，那么 $F'(x) = f(x)$。微分与积分是互逆运算，它们相互抵消。

• 例如，计算 $\int_1^3 x^2, dx$：x^2 的原函数是 $\frac{x^3}{3}$。所以 $\int_1^3 x^2, dx = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \approx 8.67$。

• 正如微分有运算法则一样，积分也有相应的逆向运算法则：

函数	积分	条件
x^n	\frac{x^{n+1}}{n+1} + C	n \neq -1
\frac{1}{x}	\ln\|x\| + C
e^x	e^x + C
a^x	\frac{a^x}{\ln a} + C
\sin x	-\cos x + C
\cos x	\sin x + C
$k$（常数）	kx + C

• 和/差法则同样适用：$\int [f(x) \pm g(x)], dx = \int f(x), dx \pm \int g(x), dx$。常数可以提出来：$\int k, f(x), dx = k \int f(x), dx$。

• 当一个函数太复杂而无法直接积分时，我们有简化它的技巧。

• **换元积分法（u 代换）**是链式法则的逆过程。如果发现一个复合函数 f(g(x)) 乘以 $g'(x)$，则令 $u = g(x)$，于是 $du = g'(x), dx$，积分得以简化。

• 例如：$\int 2x \cos(x^2), dx$。令 $u = x^2$，则 $du = 2x, dx$。积分变为 $\int \cos(u), du = \sin(u) + C = \sin(x^2) + C$。

• 分部积分法是乘积法则的逆过程。如果被积函数是两个函数的乘积：

\int u\, dv = uv - \int v\, du

• 策略性地选择 u 和 $dv$，使得剩下的积分 \int v\, du 比原来的更简单。选择 u 的常用助记法是 LIATE：对数函数（Logarithmic）、反三角函数（Inverse trig）、代数函数（Algebraic）、三角函数（Trigonometric）、指数函数（Exponential）（优先从靠前的类别中选择 $u$）。

• 例如：$\int x, e^x, dx$。令 $u = x$（代数函数）和 $dv = e^x, dx$。则 $du = dx$，$v = e^x$。因此：$\int x, e^x, dx = x, e^x - \int e^x, dx = x, e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$。

• 在机器学习中，积分出现在概率论中（通过对密度函数积分来计算概率）、期望值中（连续分布上的加权平均），以及计算 ROC 曲线下的面积。虽然在实际中我们很少手动积分，但理解积分的含义有助于解释这些量。

编程练习（使用 CoLab 或 notebook）

1. 使用黎曼和，用不断增加数量的矩形来数值逼近 $\int_0^1 x^2, dx$。与精确答案 \frac{1}{3} 进行比较。

import jax.numpy as jnp

for n in [10, 100, 1000, 10000]:
    x = jnp.linspace(0, 1, n, endpoint=False)
    dx = 1.0 / n
    area = jnp.sum(x**2 * dx)
    print(f"n={n:5d}  approx: {area:.6f}  exact: {1/3:.6f}")

2. 数值验证微积分基本定理。定义 $F(x) = \int_0^x t^2, dt = \frac{x^3}{3}$，并验证其导数（通过 jax.grad 计算）等于 $x^2$。

import jax
import jax.numpy as jnp

F = lambda x: x**3 / 3
dF = jax.grad(F)

for x in [0.5, 1.0, 2.0, 3.0]:
    print(f"x={x:.1f}  F'(x)={dF(x):.4f}  x^2={x**2:.4f}")

3. 可视化 f(x) = \sin(x) 从 0 到 \pi 的曲线下面积。使用 plt.fill_between 填充该区域，并用黎曼和数值计算面积。

import jax.numpy as jnp
import matplotlib.pyplot as plt

x = jnp.linspace(0, jnp.pi, 500)
y = jnp.sin(x)

plt.plot(x, y, color="purple", linewidth=2)
plt.fill_between(x, y, alpha=0.2, color="purple")
plt.title(f"Area = {jnp.sum(jnp.sin(x) * (jnp.pi / 500)):.4f}  (exact: 2.0)")
plt.show()