maths-cs-ai-compendium-zh/chapter 14: data structures and algorithms/03. trees.md

树

树是层次化数据结构，是文件系统、数据库、编译器和无数面试题背后的基础。本文件涵盖二叉树、二叉搜索树、平衡树、前缀树、线段树、树状数组和并查集，包括遍历模式、递归思维以及逐步增加难度的题目。

• 树是一个连通的无环图（第13章）。最重要的变体是二叉树：每个节点最多有两个子节点（左和右）。树无处不在：编译器中的解析树、浏览器中的 DOM 树、机器学习中的决策树以及数据库中的 B 树。

• 解决树问题的关键洞察：大多数树问题都可以递归解决。结构是递归的（树是一个根节点加上两棵子树），因此解法也应是递归的。掌握"解决左子树、解决右子树、合并结果"的模式，你就能解决大多数树问题。

二叉树遍历

• 有四种标准的访问每个节点的方式：

  • 中序遍历（左、根、右）：对于 BST，这会按排序顺序访问节点。
  • 前序遍历（根、左、右）：用于序列化和复制树。
  • 后序遍历（左、右、根）：用于删除和计算大小。
  • 层序遍历（BFS）：使用队列逐层访问节点。

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

def inorder(root):
    if not root:
        return []
    return inorder(root.left) + [root.val] + inorder(root.right)

def preorder(root):
    if not root:
        return []
    return [root.val] + preorder(root.left) + preorder(root.right)

def postorder(root):
    if not root:
        return []
    return postorder(root.left) + postorder(root.right) + [root.val]

from collections import deque

def level_order(root):
    if not root:
        return []
    result, queue = [], deque([root])
    while queue:
        level = []
        for _ in range(len(queue)):
            node = queue.popleft()
            level.append(node.val)
            if node.left:
                queue.append(node.left)
            if node.right:
                queue.append(node.right)
        result.append(level)
    return result

• 陷阱：上面的递归遍历在每一步都创建新列表（由于 + 拼接），这是 $O(n^2)$。为了效率，传递一个结果列表并原地追加：

def inorder_efficient(root, result=None):
    if result is None:
        result = []
    if root:
        inorder_efficient(root.left, result)
        result.append(root.val)
        inorder_efficient(root.right, result)
    return result

简单：二叉树的最大深度

def max_depth(root):
    if not root:
        return 0
    return 1 + max(max_depth(root.left), max_depth(root.right))

• 递归模式：基本情况（null → 0），递归子节点，合并（1 + max）。同样的模式适用于数十种树问题。

简单：翻转二叉树

def invert_tree(root):
    if not root:
        return None
    root.left, root.right = invert_tree(root.right), invert_tree(root.left)
    return root

中等：二叉树的最近公共祖先

• 问题：找到既是 p 又是 q 的祖先的最低节点。

• 模式：如果 p 和 q 都在左子树中，则 LCA 在左子树中。如果都在右子树中，则在右子树中。如果它们分开了（一个在左，一个在右），则当前节点就是 LCA。

def lowest_common_ancestor(root, p, q):
    if not root or root == p or root == q:
        return root

    left = lowest_common_ancestor(root.left, p, q)
    right = lowest_common_ancestor(root.right, p, q)

    if left and right:
        return root  # p 和 q 在不同子树中
    return left if left else right

• 陷阱：这假设 p 和 q 都在树中。如果它们可能不在，你需要额外的检查。

困难：二叉树中的最大路径和

• 问题：找出任意两个节点之间的最大路径和（路径不需要经过根节点）。

def max_path_sum(root):
    best = [float('-inf')]

    def dfs(node):
        if not node:
            return 0
        left = max(dfs(node.left), 0)   # 忽略负路径
        right = max(dfs(node.right), 0)

        # 经过当前节点的路径（可能作为"转弯点"）
        best[0] = max(best[0], node.val + left + right)

        # 返回到父节点的最大增益
        return node.val + max(left, right)

    dfs(root)
    return best[0]

• 关键洞察：在每个节点，有两个问题：(1) 经过这个节点的最佳路径是什么（左 + 节点 + 右）？(2) 这个节点可以贡献给其父节点的最佳路径是什么（节点 + max(左, 右)，因为路径不能在两个层级分叉）？混淆这两者是最常见的错误。

二叉搜索树（BST）

• BST 满足：对于每个节点，左子树中的所有值都较小，右子树中的所有值都较大。这实现了 O(\log n) 的搜索、插入和删除（当平衡时）。

def search_bst(root, target):
    if not root:
        return None
    if target < root.val:
        return search_bst(root.left, target)
    elif target > root.val:
        return search_bst(root.right, target)
    else:
        return root

def insert_bst(root, val):
    if not root:
        return TreeNode(val)
    if val < root.val:
        root.left = insert_bst(root.left, val)
    else:
        root.right = insert_bst(root.right, val)
    return root

• 陷阱：BST 操作仅在树平衡时才是 $O(\log n)$。由已排序插入构建的 BST 退化为链表：每次操作 $O(n)$。这就是平衡 BST（AVL、红黑树）存在的原因。

中等：验证二叉搜索树

def is_valid_bst(root, lo=float('-inf'), hi=float('inf')):
    if not root:
        return True
    if root.val <= lo or root.val >= hi:
        return False
    return (is_valid_bst(root.left, lo, root.val) and
            is_valid_bst(root.right, root.val, hi))

• 陷阱：只检查 left.val < root.val < right.val 是错误的。约束条件是左子树中所有节点都更小，而不仅仅是直接子节点。lo/hi 边界将这个约束向下传递。

中等：二叉搜索树中第 K 小的元素

• 模式：BST 的中序遍历按排序顺序访问节点。访问的第 k 个节点就是答案。

def kth_smallest(root, k):
    count = [0]
    result = [None]

    def inorder(node):
        if not node or result[0] is not None:
            return
        inorder(node.left)
        count[0] += 1
        if count[0] == k:
            result[0] = node.val
            return
        inorder(node.right)

    inorder(root)
    return result[0]

前缀树（Trie）

• 前缀树逐字符地将字符串存储在树中。每条边代表一个字符，从根到标记节点的路径代表存储的字符串。前缀树实现了 O(L) 的查找，其中 L 是字符串长度，无论存储了多少个字符串。

class TrieNode:
    def __init__(self):
        self.children = {}
        self.is_end = False

class Trie:
    def __init__(self):
        self.root = TrieNode()

    def insert(self, word):
        node = self.root
        for char in word:
            if char not in node.children:
                node.children[char] = TrieNode()
            node = node.children[char]
        node.is_end = True

    def search(self, word):
        node = self.root
        for char in word:
            if char not in node.children:
                return False
            node = node.children[char]
        return node.is_end

    def starts_with(self, prefix):
        node = self.root
        for char in prefix:
            if char not in node.children:
                return False
            node = node.children[char]
        return True

• 何时使用：自动补全、拼写检查、单词游戏、IP 路由表。每当你需要基于前缀的操作时。

困难：单词搜索 II

• 问题：给定一个字符板和一个单词列表，找出所有可以通过遍历相邻单元格形成的单词。

• 模式：从单词列表构建一个前缀树，然后从每个单元格使用前缀树进行 DFS，尽早剪枝分支（如果没有单词以当前前缀开头，则停止）。

• 陷阱：没有前缀树的话，你需要为每个单词单独进行 DFS：$O(w \cdot m \cdot n \cdot 4^L)$。前缀树跨单词共享前缀计算，大幅减少了工作量。

并查集（不相交集合）

• 并查集跟踪一组不相交集合。两个操作：find(x) 返回 x 所在集合的代表元，union(x, y) 合并包含 x 和 y 的集合。

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))
        self.rank = [0] * n
        self.count = n  # 连通分量数

    def find(self, x):
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])  # 路径压缩
        return self.parent[x]

    def union(self, x, y):
        rx, ry = self.find(x), self.find(y)
        if rx == ry:
            return False  # 已经连通
        # 按秩合并
        if self.rank[rx] < self.rank[ry]:
            rx, ry = ry, rx
        self.parent[ry] = rx
        if self.rank[rx] == self.rank[ry]:
            self.rank[rx] += 1
        self.count -= 1
        return True

• 通过路径压缩和按秩合并，两个操作都是平摊 $O(\alpha(n)) \approx O(1)$（反阿克曼函数，实际上是常数）。

• 何时使用：连通分量、无向图中的环检测、Kruskal 最小生成树、分组等价项。

中等：连通分量数量

def count_components(n, edges):
    uf = UnionFind(n)
    for u, v in edges:
        uf.union(u, v)
    return uf.count

中等：冗余连接

• 问题：找出从图中移除后使图成为树的那条边（即，创建环的那条边）。

• 模式：逐一处理边。第一条两个端点已经在同一分量中的边就是创建环的边。

def find_redundant(edges):
    uf = UnionFind(len(edges) + 1)
    for u, v in edges:
        if not uf.union(u, v):
            return [u, v]  # 已经连通 → 这条边创建了环

线段树和树状数组

• 线段树支持区间查询（子数组上的和、最小值、最大值）和单点更新，两者都是 $O(\log n)$。

• 树状数组（二叉索引树）是前缀和查询和单点更新的更简单、更快的替代方案。它使用一种巧妙的位操作技巧：每个位置存储一个部分和，覆盖范围由最低设置位决定。

class FenwickTree:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.tree = [0] * (n + 1)

    def update(self, i, delta):
        i += 1  # 1-indexed
        while i <= self.n:
            self.tree[i] += delta
            i += i & (-i)  # 加上最低设置位

    def prefix_sum(self, i):
        i += 1
        total = 0
        while i > 0:
            total += self.tree[i]
            i -= i & (-i)  # 移除最低设置位
        return total

    def range_sum(self, l, r):
        return self.prefix_sum(r) - (self.prefix_sum(l - 1) if l > 0 else 0)

• 何时使用：需要带更新的重复区间查询的问题。当你只需要前缀和时首选树状数组；当你需要任意区间操作（最小值、最大值、GCD）时使用线段树。

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常见陷阱总结

陷阱	示例	修复
BST 只检查直接子节点	left.val < root.val 遗漏了深层违规	传递 lo/hi 边界
递归中 O(n^2) 列表拼接	inorder(left) + [val] + inorder(right)	追加到共享列表
忘记基本情况	空树上的无限递归	if not root: return
混淆经过路径和到父节点的路径	最大路径和：在两个层级分叉	向父节点返回单分支，单独跟踪双分支
树状数组 1-indexed vs 0-indexed	树数组中的差一错误	入口处始终 i += 1
并查集没有路径压缩	最坏情况下每次 find 是 O(n)	self.parent[x] = self.find(self.parent[x])

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课后练习题（NeetCode）

二叉树模式

• 翻转二叉树 — 基础递归
• 二叉树的最大深度 — 递归深度
• 相同的树 — 同步遍历
• 另一棵树的子树 — 嵌套递归
• 二叉树的层序遍历 — 带层级跟踪的 BFS
• 二叉树中的最大路径和 — 带全局最优的 DFS
• 序列化与反序列化二叉树 — 前序遍历 + null 标记

BST 模式

• 验证二叉搜索树 — 边界传播
• 二叉搜索树中第 K 小的元素 — 中序遍历
• 二叉搜索树的最近公共祖先 — 利用 BST 排序性质

前缀树

• 实现 Trie — 基础前缀树操作
• 设计添加和搜索单词 — 前缀树 + 带通配符的 DFS
• 单词搜索 II — 前缀树引导的回溯

并查集

• 连通分量数量 — 基础并查集
• 冗余连接 — 通过并查集检测环