# 基与对偶性

*基定义了向量空间的坐标系，而对偶性揭示了线性函数如何作用于向量。本文涵盖线性无关性、生成集、基变换、对偶空间和余向量，这些概念支撑了 ML 中的 PCA、特征变换和注意力查询。*

- 我们已经看到向量存在于具有一定维度数的空间中。但什么定义了这些维度？这就是**基向量**发挥作用的地方。

- **基**是一组向量，可以通过缩放和相加（线性组合）构建空间中的每个其他向量，且没有冗余。它们是空间的构建块。

- 基必须满足两个条件：

    - **线性无关**：没有基向量能从其他基向量构造出来。每个都贡献了一个真正的新方向。

    - **生成性**：空间中的每个向量都可以表示为基向量的组合。没有任何遗漏。

- 基中的向量数量等于空间的**维度**。在 $\mathbb{R}^2$ 中你需要 2 个，在 $\mathbb{R}^3$ 中你需要 3 个，依此类推。

- 最自然的基是**标准基**，即沿每个轴的单位向量：

    - 在 $\mathbb{R}^2$ 中：$\hat{\mathbf{i}} = (1, 0)$ 和 $\hat{\mathbf{j}} = (0, 1)$
    - 在 $\mathbb{R}^3$ 中：$\hat{\mathbf{i}} = (1, 0, 0)$，$\hat{\mathbf{j}} = (0, 1, 0)$，$\hat{\mathbf{k}} = (0, 0, 1)$

- 任何向量都是这些基向量的加权和。向量 $(3, 2)$ 实际上是 $3\hat{\mathbf{i}} + 2\hat{\mathbf{j}}$。权重（3 和 2）是该基下向量的**坐标**。

- 但标准基并不是唯一有效的基。在 $\mathbb{R}^2$ 中，向量 $(1, 1)$ 和 $(-1, 1)$ 也构成基。它们线性无关，并且可以到达平面上的任何点。同一个向量在这个新基下只是有不同的坐标。

- **基变换**使用不同的构建块重新表达同一个向量。向量没有移动，我们只是从不同的角度描述它。

- 这是通过乘以一个**基变换矩阵** $P$ 来完成的，其列是用旧坐标表示的新基向量。要变回去，乘以 $P^{-1}$。

- 在 ML 中，基变换经常出现。例如，PCA 找到一个新基（主成分），在该基下数据更容易理解，坐标轴与最大变化方向对齐。

- 现在，这里隐藏着一个更深层的想法。当我们写 $\mathbf{v} = (3, 2)$ 时，坐标 3 和 2 实际上是沿着每个基方向"测量" $\mathbf{v}$ 的结果。第一个坐标问"$\hat{\mathbf{i}}$ 在 $\mathbf{v}$ 中有多少？"，第二个问"$\hat{\mathbf{j}}$ 呢？"

- 这些测量中的每一个都是一个**线性泛函**，一个接受向量并返回单个标量的函数。所有这样的线性泛函的集合构成了**对偶空间** $V^\ast$。

- 这样想：向量是被测对象，线性泛函是测量它们的*标尺*。对偶空间是所有可能的标尺的集合。

- 对于每个基 $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n\}$，存在一个对应的**对偶基** $\{\mathbf{e}_1^\ast, \mathbf{e}_2^\ast, \ldots, \mathbf{e}_n^\ast\}$。每个对偶基向量恰好提取一个坐标：

```math
\mathbf{e}_i^\ast(\mathbf{e}_j) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j \\ 0 & \text{if } i \neq j \end{cases}
```

- $\mathbf{e}_1^\ast$ 作用于 $\mathbf{e}_1$ 时返回 1，对其它所有向量返回 0。它完美地隔离了第一个坐标。

- 点积连接了这两个世界。当你计算 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ 时，你可以把其中一个向量看作"标尺"在测量另一个向量。点积 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ 等同于将由 $\mathbf{u}$ 定义的线性泛函应用于向量 $\mathbf{v}$。

- 这意味着每个向量都隐含地定义了一个线性泛函，并且每个线性泛函都可以用一个向量表示。在有限维空间中，对偶空间本质上是原始空间的镜像。

- 对偶性现在可能看起来很抽象，但它支撑着许多实际的概念：坐标是对偶基的评估，点积是对偶配对，而神经网络中的注意力等变换通过让一组向量"查询"另一组向量来运作，这正是对偶性在起作用。

## 编程练习（使用 CoLab 或 notebook）

1. 在两个不同的基中表达一个向量，并验证它们代表同一个点。尝试创建你自己的基，观察向量得到什么坐标。
```python
import jax.numpy as jnp

v = jnp.array([3.0, 2.0])

# 标准基：坐标就是分量本身
print(f"Standard basis coords: {v}")

# 新基：(1,1) 和 (-1,1)
P = jnp.array([[1.0, -1.0],
               [1.0,  1.0]])
new_coords = jnp.linalg.solve(P, v)
print(f"New basis coords: {new_coords}")

# 验证：从新坐标重建
reconstructed = new_coords[0] * P[:, 0] + new_coords[1] * P[:, 1]
print(f"Reconstructed: {reconstructed}")
```

2. 验证对偶基性质：每个对偶基向量恰好提取一个坐标，对其他向量返回零。
```python
import jax.numpy as jnp

# R3 中的标准基
e1 = jnp.array([1.0, 0.0, 0.0])
e2 = jnp.array([0.0, 1.0, 0.0])
e3 = jnp.array([0.0, 0.0, 1.0])

v = jnp.array([5.0, 3.0, 7.0])

# 每个点积提取一个坐标
print(f"e1 · v = {jnp.dot(e1, v)}")
print(f"e2 · v = {jnp.dot(e2, v)}")
print(f"e3 · v = {jnp.dot(e3, v)}")
```